控制方程

采用守恒形式的二维浅水方程：
$$\tag{1} \frac{\bf{U}}{\partial t} +\frac{\partial {\bf{E}^{adv}}}{\partial x} +\frac{\partial {\bf{G}^{adv}}}{\partial y} =\frac{\partial {\bf{E}^{diff}}}{\partial x} +\frac{\partial {G^{diff}}}{\partial y} +\bf{S}$$
式中，$\bf{U}$为守恒向量；$\bf{E}^{adv}$、$\bf{G}^{adv}$分别为$x$、$y$方向的对流通量向量；$\bf{E}^{diff}$、$\bf{G}^{diff}$分别为$x$、$y$方向的扩散通量向量；$\bf{S}$ 为源项向量，且： $$\tag{2} \bf{U}= \begin{bmatrix} h \\ hu \\ hv \end{bmatrix} \ \ \ \bf{S}= \begin{bmatrix} 0 \\ g(h+b)S_{0x} \\ g(h+b)S_{0y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -ghS_{fx} \\ -ghS_{fy} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r-i \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ S_{wx} \\ S_{wy} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ fhv \\ -fhu \end{bmatrix} \\ \bf{E}^{adv}=\begin{bmatrix} hu \\ hu^2+\frac 1 2 g(h^2-b^2) \\ huv \end{bmatrix} \ \ \bf{G}^{adv}=\begin{bmatrix} hv \\ huv \\ hv^2+\frac 1 2 g(h^2-b^2) \end{bmatrix} \\ \bf{E}^{diff}=\begin{bmatrix} 0 \\ 2h \nu_t \frac{\partial u}{\partial x} \\ h \nu_t (\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial x}) \end{bmatrix} \ \ \bf{G}^{diff}=\begin{bmatrix} 0 \\ h\nu_t (\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial x}) \\ h 2h \nu_t \frac{\partial v}{\partial x} \end{bmatrix}$$
式中，$h$为水深；$u$、$v$分别为垂直方向平均流速在$x$、$y$方向的分量；$b$为底高程；$r$为降雨强度；$i$为入渗强度；$\nu_t$为水平方向的紊动粘性系数；$g$为重力加速度；$S_{fx}$、$S_{fy}$分别为$x$、$y$方向的摩阻斜率；$S_{0x}$、$S_{0y}$分别为$x$、$y$方向的底坡斜率：
$$\tag{3} S_{0x}=-\frac{\partial{b(x,y)}}{\partial x} \ \ \ S_{0y}=-\frac{\partial{b(x,y)}}{\partial y}$$ 采用Manning公式计算摩阻斜率：
$$\tag{4} S_{fx}=\frac{ n^2u \sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}} \ \ \ S_{fy}=\frac{ n^2v \sqrt{u^2+v^2}}{h^{4/3}}$$

式中，$n$为Manning系数，与地形地貌、地表粗糙程度、植被覆盖等下垫面情况有关，一般结合经验给定Manning系数值。 采用如下代数关系计算紊动粘性系数：
$$\tag{5} \nu_t= \alpha \kappa u_* h$$
式中，$\alpha$为比例系数，一般取0.2；$\kappa$为卡门系数，取0.4；$u_*$为床面剪切流速。

$S_{wx}$、$S_{wy}$分别为$x$、$y$方向的水面风应力：
$$\tag{6} S_{wx}=C_d \frac{\rho_a }{\rho _w}U_w \sqrt{U_w^2+V_w^2} \ \ S_{wy}=C_d \frac{\rho_a }{\rho _w}V_w \sqrt{U_w^2+V_w^2}$$ 式中，$C_d$为水面风应力拖曳系数；$\rho_a$、$\rho_w$分别为空气和水的密度；$U_w$、$V_w$分别为$x$、$y$方向上水面10m高处的风速分量（m/s）。 水面风应力拖曳系数可取常数值（如$2.6×10-3$）。此外，考虑到阻尼系数随着风速的加大而有一定增大的观测事实，常将表面风应力拖曳系数参数化成如下的线性形式：
$$\tag{7}C_d=0.001 \times (a+b\sqrt{U_w^2+V_w^2})$$

式中，$a$、$b$为经验系数，取值见表3.1-1。需要注意的是，由于观测的资料源不同，得到$a$、$b$值分散性很大，适用范围也不完全相同，绝大多数公式目前还只适用于25m/s以下的风速范围。

$f$为柯氏力系数，$f=2wsin(\varphi)$，$w = {2 \phi} /{86164}=7.29\times 10^{-5} {rad}/{s}$为地球自转角速度，$\varphi$为当地纬度。