河道汇流模型

(分段)马斯京根模型

马斯京根模型

马斯京根模型（Muskingum model）是一种常用的水文模型，用于流域水文预报和洪水演算。该模型是由美国水利工程师赫罗德·马斯京根（Herod R. Muskingum）在1954年提出的，用于描述河流水流在河道中的传播和延迟现象。

马斯京根模型基于以下假设：

  • 河流水流的流速是均匀的。
  • 河道形状是恒定的。
  • 河道的侧向通量是忽略不计的。

基于水量平衡方程：

12(I1+I2)Δt−12(O1+O2)Δt=W2−W1 \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \Delta t - \frac{1}{2}(O_1 + O_2) \Delta t = W_2 - W_1

其中，I,Q,WI, Q, W 分别是河段的入流、出流和槽蓄量，下标1、2分别表示时段始末的情况。

以及河道槽蓄方程：

W=K[xI+(1−x)Q]=KQ′ W = K[x I + (1 - x)Q] = K Q^{'}

其中，Q′Q^{'} 为示储流量，K 表示蓄量流量关系曲线的坡度，hr，可视为常数；x 为流量比重系数。

可以得到 马斯京根汇流方程：

Q2=C0I2+C1I1+C2Q1 Q_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 Q_1

其中，C0=0.5Δt−Kx0.5Δt+K−KxC_0 = \frac{0.5 \Delta t - K x}{0.5 \Delta t + K - K x}，C1=0.5Δt+Kx0.5Δt+K−KxC_1 = \frac{0.5 \Delta t + K x}{0.5 \Delta t + K - K x}，C2=−0.5Δt+K−Kx0.5Δt+K−KxC_2 = \frac{-0.5 \Delta t + K - K x}{0.5 \Delta t + K - K x}。 同时，存在关系 C0+C1+C2=1.0C_0 + C_1 + C_2 = 1.0

分段马斯京根模型

为了避免出现负出流等不合理现象，保证上、下断面的流量在计算时段内呈线性变化和在任何时刻流量在河段内沿程呈线性变化，一般要求 Δt=K\Delta t = K。1962 年赵人俊提出了马斯京根分段连续演算法。将演算河段分成 N 个子河段后，每个子河段参数 KL,xLK_L, x_L 与未分河段时的参数 K,xK, x 的关系为:

KL=KN,xL=12−N2(1−2x) K_L = \frac{K}{N}, x_L = \frac{1}{2} - \frac{N}{2}(1 - 2x)

分段演算中每段的汇流公式仍然是经典马斯京根方程。